探讨数组的随机排列方法教程

　　数据的随机排列是现在非常流行的一种游戏新玩法，如何才能正确的了解数组的准确性呢?这就是今天我们需要探讨的重要问题，不管在任何时候我们都需要数组的绝对正确性和高效率性，不能出现任何一丝的错误，比如Array.prototype.sort 方法被许多程序员误用来随机排列数组。

　　接下来我们就来看看出现的错误：

function shuffle(arr){
    return arr.sort(function(){
        return Math.random() - 0.5;
    });
}

　　以上的代码乍一看巧妙的利用了 Array.prototype.sort 实现了随机组合，其实不然，出现了很大的错误。

　　证明 Array.prototype.sort 随机算法的错误

　　为了证明这个算法的错误，我们设计一个检查的方法。如果这个排序算法是正确的，那么，将这个算法用于随机数组 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，如果算法正确，那么每个数字在每一位出现的概率均等。因此，将数组重复洗牌足够多次，然后将每次的结果在每一位相加，最后再对每一位的结果取平均值，这个平均值应该约等于 (0 + 9) / 2 = 4.5，测试次数越多次，每一位上的平均值就都应该越接近于 4.5。所以我们简单实现测试代码如下：

var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
 
var t = 10000;
for(var i = 0; i var sorted = shuffle(arr.slice(0));
  sorted.forEach(function(o,i){
      res[i] += o;
  });
}
 
res = res.map(function(o){
    return o / t;
});
 
console.log(res);

　　将上面的 shuffle 方法用这段测试代码在 chrome 浏览器中测试一下，可以得出结果，发现结果并不随机分布，各个位置的平均值越往后越大，这意味着这种随机算法更大的数据出现。

　　为什么会产生这个结果呢?我们需要了解 Array.prototype.sort 究竟是怎么作用的。

　　首先我们知道排序算法有很多种，而 ECMAScript 并没有规定 Array.prototype.sort 必须使用何种排序算法。在这里，有兴趣的同学不妨看一下 JavascriptCore 的源码实现：

　　排序不是我们今天讨论的主题，但是不论用何种排序算法，都是需要进行两个数之间的比较和交换，排序算法的效率和两个数之间比较和交换的次数有关系。

　　最基础的排序有冒泡排序和插入排序，原版的冒泡或者插入排序都比较了 n(n-1)/2 次，也就是说任意两个位置的元素都进行了一次比较。那么在这种情况下，如果采用前面的 sort 随机算法，由于每次比较都有 50% 的几率交换和不交换，这样的结果是随机均匀的吗?我们可以看一下例子：

function bubbleSort(arr, compare){
  var len = arr.length;
  for(var i = 0; i 1; i++){
    for(var j = 0; j 1 - i; j++){
      var k = j + 1;
      if(compare(arr[j], arr[k]) > 0){
        var tmp = arr[j];
        arr[j] = arr[k];
        arr[k] = tmp;
      }
    }
  }
  return arr;
}
 
function shuffle(arr){
  return bubbleSort(arr, function(){
    return Math.random() - 0.5;
  });
}
 
var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
 
var t = 10000;
for(var i = 0; i var sorted = shuffle(arr.slice(0));
  sorted.forEach(function(o,i){
    res[i] += o;
  });
}
 
res = res.map(function(o){
  return o / t;
});
 
console.log(res);

　　上面的代码的随机结果也是不均匀的，测试平均值的结果越往后的越大。

　　冒泡排序总是将比较结果较小的元素与它的前一个元素交换，我们可以大约思考一下，这个算法越后面的元素，交换到越前的位置的概率越小(因为每次只有50%几率“冒泡”)，原始数组是顺序从小到大排序的，因此测试平均值的结果自然就是越往后的越大(因为越靠后的大数出现在前面的概率越小)。

　　我们再换一种算法，我们这一次用插入排序：

function insertionSort(arr, compare){
  var len = arr.length;
  for(var i = 0; i for(var j = i + 1; j if(compare(arr[i], arr[j]) > 0){
        var tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
      }
    }
  }
  return arr;
}
 
function shuffle(arr){
  return insertionSort(arr, function(){
    return Math.random() - 0.5;
  });
}
 
var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
 
var t = 10000;
for(var i = 0; i var sorted = shuffle(arr.slice(0));
  sorted.forEach(function(o,i){
    res[i] += o;
  });
}
 
res = res.map(function(o){
  return o / t;
});
 
console.log(res);

　　由于插入排序找后面的大数与前面的数进行交换，这一次的结果和冒泡排序相反，测试平均值的结果自然就是越往后越小。原因也和上面类似，对于插入排序，越往后的数字越容易随机交换到前面。

　　所以我们看到即使是两两交换的排序算法，随机分布差别也是比较大。除了每个位置两两都比较一次的这种排序算法外，大多数排序算法的时间复杂度介于 O(n) 到 O(n2) 之间，元素之间的比较次数通常情况下要远小于 n(n-1)/2，也就意味着有一些元素之间根本就没机会相比较(也就没有了随机交换的可能)，这些 sort 随机排序的算法自然也不能真正随机。

function quickSort(arr, compare){
  arr = arr.slice(0);
  if(arr.length 1) return arr;
  var mid = arr[0], rest = arr.slice(1);
  var left = [], right = [];
 
  for(var i = 0; i if(compare(rest[i], mid) > 0){
      right.push(rest[i]);
    }else{
      left.push(rest[i]);
    }
  }
 
  return quickSort(left, compare).concat([mid])
  .concat(quickSort(right, compare));
}
 
function shuffle(arr){
    return quickSort(arr, function(){
      return Math.random() - 0.5;
    });
}
 
var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
 
var t = 10000;
for(var i = 0; i var sorted = shuffle(arr.slice(0));
  sorted.forEach(function(o,i){
    res[i] += o;
  });
}
 
res = res.map(function(o){
  return o / t;
});
 
console.log(res);

　　我们将上面的代码改一下，采用快速排序：

　　快速排序并没有两两元素进行比较，它的概率分布也不随机。

　　所以我们可以得出结论，用 Array.prototype.sort 随机交换的方式来随机排列数组，得到的结果并不一定随机，而是取决于排序算法是如何实现的，用JavaScript 内置的排序算法这么排序，通常肯定是不完全随机的。

　　经典的随机排列

　　所有空间复杂度 O(1) 的排序算法的时间复杂度都介于 O(nlogn) 到 O(n2) 之间，因此在不考虑算法结果错误的前提下，使用排序来随机交换也是慢的。事实上，随机排列数组元素有经典的 O(n) 复杂度的算法：

function shuffle(arr){
  var len = arr.length;
  for(var i = 0; i 1; i++){
    var idx = Math.floor(Math.random() * (len - i));
    var temp = arr[idx];
    arr[idx] = arr[len - i - 1];
    arr[len - i -1] = temp;
  }
  return arr;
}

　　在上面的算法里，我们每一次循环从前 len – i 个元素里随机一个位置，将这个元素和第 len – i 个元素进行交换，迭代直到 i = len – 1 为止。

　　我们同样可以检验一下对 n 个数进行随机：

　　首先我们考虑 n = 2 的情况，根据算法，显然有 1/2 的概率两个数交换，有 1/2 的概率两个数不交换，因此对 n = 2 的情况，元素出现在每个位置的概率都是 1/2，满足随机性要求。

　　假设有 i 个数， i >= 2 时，算法随机性符合要求，即每个数出现在 i 个位置上每个位置的概率都是 1/i。

　　对于 i + 1 个数，按照我们的算法，在第一次循环时，每个数都有 1/(i+1) 的概率被交换到最末尾，所以每个元素出现在最末一位的概率都是 1/(i+1) 。而每个数也都有 i/(i+1) 的概率不被交换到最末尾，如果不被交换，从第二次循环开始还原成 i 个数随机，根据 2. 的假设，它们出现在 i 个位置的概率是 1/i。因此每个数出现在前 i 位任意一位的概率是(i/(i+1)) * (1/i) = 1/(i+1)，也是 1/(i+1)。

　　综合 1. 2. 3. 得出，对于任意 n >= 2，经过这个算法，每个元素出现在 n 个位置任意一个位置的概率都是 1/n。

　　总结：

　　一个优秀的算法一定要同时满足结果正确和高效率这两个基本的要求。很不幸使用 Array.prototype.sort 方法这两个条件都不满足。因此，当我们需要实现类似洗牌的功能的时候，还是应该采用巧妙的经典洗牌算法，它不仅仅具有完全随机性还有很高的效率。

　　除了收获这样的算法之外，我们还应该认真对待这种动手分析和解决问题的思路，并且捡起我们曾经学过而被大多数人遗忘的数学（比如数学归纳法这种经典的证明方法）。如有疑问欢迎探讨！